Marginalia — Cuaderno Interactivo 01 Functions

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Función

Sean \(D\) y \(Y\) dos conjuntos no vacíos. Una función \(f\) es una relación que asigna a cada elemento \(x \in D\) un único elemento \(f(x) \in Y\).

Dominio

El conjunto \(D\) de todos los valores de entrada (inputs) posibles para los cuales la regla de correspondencia está bien definida.

Rango

El conjunto de todos los valores de salida reales \(f(x)\) obtenidos a medida que \(x\) varía a lo largo de todo el dominio \(D\). Se denota formalmente como el conjunto imagen \(\text{Im}(f) = \{y \in Y \mid \exists x \in D \text{ tal que } f(x) = y\}\).

Hipótesis Crítica

Para que la relación sea una función, la asignación debe ser unívoca (un solo output por cada input). En este curso de cálculo, \(D\) y \(Y\) son subconjuntos de los números reales (\(\mathbb{R}\)).

"A function \(f\) from a set \(D\) to a set \(Y\) is a rule that assigns a unique (single) element \(f(x) \in Y\) to each element \(x \in D\)." \citep[p.~1]{weir2010thomas}.

"The set \(D\) of all possible input values is called the domain of the function. The set of all values of \(f(x)\) as \(x\) varies throughout \(D\) is called the range of the function." \citep[p.~1]{weir2010thomas}.

Notación Simbólica

En la expresión \(y = f(x)\):

• \(f\) representa el operador o regla de asignación.
• \(x\) es la variable independiente (pertenece al dominio \(D\)).
• \(y\) es la variable dependiente (pertenece al rango o imagen).

Limitación del Thomas

Thomas define la función vagamente como una "regla" (rule). En el análisis matemático moderno, esto carece de rigor fundacional ya que no define formalmente qué es una "regla".

La construcción del marco teórico de estas notas de cálculo se articula a partir del análisis histórico y la transposición didáctica del concepto de función. Las bases metodológicas se sustentan en la necesidad del uso del método genético propuesto por Safuanov (2015) para subsanar los vacíos del formalismo extremo, complementado con la visión de Siu (1992) sobre la integración de la vena histórica en la educación matemática superior. Asimismo, la estructuración cronológica y evolutiva de este cuaderno se apoya en la periodización del concepto desarrollada por Ponte (1992) —desde el uso de tablas en la antigüedad hasta la abstracción moderna— y en el riguroso examen de las crisis analíticas del siglo XIX detalladas por Kleiner (1989), las cuales forzaron la transición hacia la definición contemporánea de Dirichlet.

La formalización del dominio y el rango dentro del espacio topológico y algebraico de los números reales (\(\mathbb{R}\)), introduciendo el concepto fundamental de dominio natural como el conjunto maximal de definición. Estructuralmente, se establece que una función polinómica, racional o irracional posee una regla de correspondencia que restringe sus valores de entrada admisibles en virtud de las leyes de los campos ordenados de \(\mathbb{R}\), destacando de manera vinculante cómo cualquier alteración en el dominio arrastra una modificación unívoca en la topología de la imagen o conjunto de llegada. Asimismo, se clasifica rigurosamente a las entidades matemáticas estudiadas como funciones de variable real y valores reales, utilizando analogías cinemáticas y diagramas de flechas como representaciones heurísticas pre-formales para ilustrar el principio de unicidad en la correspondencia binaria de los conjuntos.